Find the maximum or minimum value of a function


What Is a function

                   There are two variables in a function. autonomous variable and dependent variable.


Here we find the maximum or minimum value of a function in 2 ways.

    1) The usual method

                This is only used for Square functions 

                f (x) = ax^2 + bx +c                                 a , b, and c are constants

STEPS

     Important ----> If the a is a negative value, the negative sign must first be taken out of the parentheses.

                           and also if  a > 1  a  must be taken out of the parentheses.

                         f(x)= -ax^2 + bx + c

E.g.     f(x)= -x^2 + 4x +6                       f(x)= 2x^2 + 4x +5                       f(x)= -3x^2 + 2x -6      

           f(x)= -{ x^2 -4x -6}                     f(x)= 2{x^2 + 2x + 5/2}                f(x)= -3{x^2 -2/3 x +2} 


 If the function is as follows

                   f(x)=a{x^2 + Bx + C } , g(x)= x^2 + Bx + C                    B and C are constants


STEP  1 ---->  [variable + B/ 2] ^ 2


E.g. 01) f(x)= x^2 + 4x + 6                                            02)  f(x)= -x^2 + 4x +6  

                   (x + 2)^ 2                                                        f(x)= -{ x^2 -4x -6}

                                                                                                         (x-2)^2 

                                                                                             

       03) f(x)= 2x^2 + 4x +5                                             04)  f(x)= -3x^2 + 2x -6 

             f(x)= -{ x^2 -4x -6}                                                    f(x)= -3{x^2 -2/3 x +2}

                     (x-2)^2                                                                          (x-1/3)^2


 STEP 2

Consider the first example

                 E.g.    f(x)= x^2 + 4x + 6

                                 (x + 2)^ 2 = x^2 + 4x + 4 -----> (1) 


The constant of expression from (1) is 4 and the constant of f (x) is 6. Adding 2 to the (1) expression gives the expression f(x).

                                          

              f (x) = { (x + 2)^ 2 + 2}

              f (x) =  (x + 2)^ 2 + 2


f(x) = [variable + B/ 2]^2 +  Value to be added to obtain the last constant of f(x)


Now the maximum or minimum value is obtained when the [variable + B/ 2]  is zero.

The maximum or minimum is determined by the value of  a

 

If a <0 then we get a maximum value.

If a>0, it is a minimum value.

E.g.

 01)    f (x) = x^2 + 4x +6                     02)    g(x)= -x^2 + 4x +6                 03)   f(x)= 2x^2 + 4x +5     

                     (x + 2)^2                                       g(x)= -{ x^2 -4x -6}                    f(x)= 2{x^2 + 2x + 5/2}

         f (x) = (x + 2)^2 + 2                                              (x-2)^2                                       (x+1)^2 

                    (x + 2) = 0                                     g(x)= -{(x-2)^2 -10 }                f(x)= 2{(x+1)^2 + 1/2 }

        The minimum value is 2                           g(x)= -(x-2)^2 + 10                    f(x)= 2(x+1)^2 + 1 

                                                                                         (x - 2) = 0                                  (x + 1) = 0

                                                                     The maximum value is 10                The minimum value is 1


04) f(x)= -3x^2 + 2x -6

      f(x)= -3{x^2 -2/3 x +2}

                    (x-1/3)^2

      f(x)= -3{(x-1/3)^2 + 17/9}

      f(x)= -3(x-1/3)^2 - 17/3

                   (x - 1/3) = 0

The maximum value is  -17/3